ツイッターやニコ生などに限らず、SNSや2ちゃんねるなどネットの書き込みで時々見かけるのが、例えば「つお茶」「つ毒薬」などのように、物や何かの名称や文字の前に「つ」と付け加えられたコメント。
こんな風に「(＊´∀｀)つ旦」顔文字が使われることもあります。

この「つ」にどんな意味があるかというと、手を差し出している様子を表現しています。
「どうぞ」とか「ほらよ！」「はいよ！」というような意味合いです。

上記した「つお茶」なら「お茶をどうぞ」というような意味合いです。
お茶などの物を差し出すだけでなく、下記のように様々な表現があります。

つ旦
「旦」が湯飲み茶碗の意味で、お茶を差し出している様子です。
下記ような顔文字と組み合わせて使われることが多いです。

  1. ( ・∀・)つ旦　お茶ﾄﾞｿﾞｰ
  2. (＊´∀｀)つ旦
  3. (｀・ω・)つ旦
  4. ( -ω-)つ旦~~　

顔文字の表情によって感情も表現できます。
ニコニコ生放送（ニコ生）だと初見さんをもてなす意味で生主や他の視聴者からお茶が差し出される場面を見かけます。

※4番目の右にある「~」は湯気です。

( ´∀｀)つθθθ鎮静剤ﾄﾞｿﾞｰ
「θ」が薬のカプセルになっていて、鎮静剤を渡しています。
興奮してたり必死になっている2ちゃんねるやツイッターの書き込み者、ニコ生であれば生主(放送者)やコメントを書き込んでいる視聴者に対して「落ち着け」という意味で使われます。
つ【ここでボケて】
カッコをフリップボードみ見立てて、「ここでボケて」というボードを差し出している（提案や指示・命令の意味）様子を表現しています。
カッコ内は状況にあわせて書き換えます。
( ´￢｀)つ─━━━━　ﾎﾟｯｷｰﾄﾞｫｿﾞ
ポッキーを渡している様子です。
食べ物を渡す表現は他にはこんなのがあります。

  1. ¨)ノﾊｲ♪．・．・．・-@@@-ﾂｸﾈ。
  2. ( o^-ﾟ)ﾉ-@@@-ﾂｸﾈどうぞ♪
  3. (*ﾟДﾟ)つ-Oﾛ|>-　おでん
  4. （　´∀｀）つ―{}@{}@{}-　やきとりどーぞー
  5. 板ﾁｮｺあげる （*´∀｀）つ田
  6. (　・∀・)つ(:ﾟ::)　ﾐｶﾝどうぞ
  7. (*・∀・)つ(:ﾟ::) ﾐｶﾝﾃﾞﾓﾄﾞｳｿ
  8. ｵﾑｽﾋﾞ（　ﾟ∀ﾟ）つ　(■) (■) (■) (■) (■)
。・ﾟ・(つД｀)・ﾟ・。
この「つ」は相手に何かあげるのではなく、涙を拭っている手を表しています。
他にはこんな表現があります。

  1. ・ﾟ・(つД｀)・ﾟ・
  2. (つд∩) ｳｴｰﾝ
  3. (つ, _ ､) ヾ(^^ *) ﾖﾁﾖﾁ
その他
  1. ﾏﾀﾞｧ-? （･∀･ ）っ/凵⌒☆ﾁﾝﾁﾝ
  2. ( ･∀･)つ〃∩ ﾍｪｰﾍｪｰﾍｪｰ
  3. （　´∀｀）つ□ 涙拭けよ
  4. (*ﾟ∀ﾟ)つ＝lニニフ　包丁

1番目は飲食店や漫画喫茶などのカウンターによくある呼び鈴を鳴らしている様子です。
2番目はトリビアの泉の「へぇ～ボタン」を押している様子です。
3番目はハンカチを渡しています。

他にも多数のネット用語をまとめていますので、合わせご覧下さい。